Pengertian, Jenis dan Contoh Penyelesaian

VIVA Edukasi – Persamaan Trigonometri sering ditemukan di pelajaran Sekolah Menengah Atas (SMA) atau di mata pelajaran di bangku perkuliahan. 

Persamaan trigonometri ternyata menjadi salah satu ilmu pengetahuan yang sudah ada sejak jaman dahulu. Trigonometri muncul di masa Hellenistik pada abad ke-3 SM, dari penggunaan geometri untuk mempelajari astronomi. Meski begitu, keberadaannya sendiri telah dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia serta peradaban Lembah Indus, sekitar 3000 tahun yang lalu. Selama kurun waktu tersebut, banyak hal pun terpecahkan berkat trigonometri. 

Tablet trigonometri peradaban Babilonia

Photo :

• www.telegraph.co.uk/University of New South Wales

Mulai dari mengetahui jarak bintang nun jauh di sana, mengukur sudut ketinggian tebing tanpa harus memanjatnya, hingga mengukur lebar sungai tanpa harus menyeberanginya.

Selain astronomi, bidang lainnya yang juga menggunakan trigonometri adalah teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, kimia, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, dan banyak lagi.

Persamaan trigonometri adalah persamaan yang mengandung perbandingan antara sudut trigonometri dalam bentuk x. Penyelesaian persamaan ini dengan cara mencari seluruh nilai sudut-sudut x, sehingga persamaan tersebut bernilai benar untuk daerah asal tertentu.

Ada tiga jenis persamaan trigonometri, yaitu sinus, cosinus dan tangen atau biasa disebut sin cos tan. 

Sinus (sin) merupakan perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring; Cosinus (cos) merupakan perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring; sedangkan Tangen (tan) merupakan perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga yang terletak di sudut.

Ketiga hal ini – sin cos dan tan, yang hanya berlaku untuk segitiga siku-siku atau segitiga yang salah satu sudutnya 90 derajat, berperan dalam menemukan sudut bangun terutama  perhitungan sudut istimewa trigonometri dasar

Sudut istiwewa sendiri merupakan sudut dengan nilai perbandingan trigonometri yang dapat ditentukan nilainya tanpa menggunakan tabel ataupun kalkulator. Sudut yang dimaksud adalah 0?, 30?, 45?, 60?, 90?.

Penyelesaian persamaan trigonometri dalam bentuk derajat yang berada pada rentang 0 derajat sampai dengan 360 derajat atau dalam bentuk radian yang berada pada rentang 0 sampai dengan 2?.

Persamaan trigonometri dasar meliputi:

1. sin????=sin????

2. cos????=cos????

3. tan????=tan????

4. sin ???? = ????, ???? sebuah konstanta

5. cos ???? = ????, ???? sebuah konstanta

6. tan ???? = ????, ???? sebuah konstanta

Penyelesaian Persamaan Trigonometri Dasar

Menyelesaikan persamaan trigonometri dalam bentuk kalimat terbuka yang memuat variabel berarti menentukan nilai variabel yang terdapat dalam persamaan tersebut sehingga persamaan itu menjadi benar.

Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri sin ???? = sin ????, cos ???? = cos ???? dan tan ???? = tan ????, perhatikan tanda (positif atau negatif) untuk sin ????, cos ????, tan ???? pada tiap kuadran dan sudut berelasi pada kuadran masing-masing.

Persamaan Trigonometri Persamaan Kuadrat

Untuk mengubah bentuk persamaan trigonometri ke bentuk persamaan kuadrat trigonometri, maka perlu mengetahui identitas trigonometri seperti misalnya: 

Jika ada kata persamaan kuadrat, tentu saja perlu menentukan akar-akar persamaan kuadrat tersebut, misalnya dengan pemfaktoran maupun melengkapkan kuadrat sempurna.

Perlu diingat pula rentang nilai untuk sinus dan cosinus adalah:

−1 ≤ sin ???? ≤ 1

−1 ≤ cos ???? ≤ 1

Persamaan Sinus :

sinf(x)=sin? sin f(x) = sin ?

memiliki penyelesaian : 

f(x)=?+k.2?

f(x)= ? + k. 2?

dan  f(x)=(180? −?)+k.2? f (x) = (180?− ?) + k. 2?

Persamaan Cosinus : cosf(x) = cos ? cos

?f(x) = cos ? memiliki penyelesaian : 

f(x)=?+k.2?

f(x) = ? + k. 2? dan

f(x)=−?+k.2?

f(x)= − ? + k. 2?

Persamaan Tan :

tanf(x) = tan? tan

f(x) = tan ? memiliki penyelesaian : 

f(x)=?+k.?

f(x) = ? + k.?

dengan nilai ?= 180? ? = 180? dan k adalah bilangan bulat.

Catatan : 

*). Untuk menyelesaikan persamaan trigonometri, persamaan harus kita ubah dulu seperti bentuk di atas. 

*). Dari bentuk penyelesaian persamaan trigonometri di atas, dapat disimpulkan bahwa penyelesaiannya banyak sekali (tak hingga). Tapi tenang saja, biasanya solusinya hanya diminta dalam rentang atau interval tertentu saja. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini. 

*). Jika bentuk persamaannya selain bentuk umum di atas, selesaikan dulu persamaannya sehingga diperoleh nilai salah satu trigonometri , misalkan nilai sin atau cos atau tan, kemudian gunakan penyelesaian di atas untuk menemukan solusi yang lainnya. Salah satu caranya adalah dengan memisalkan persamaan yang ada atau langsung difaktorkan.